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Author: liuxinyu95

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@@ -1522,7 +1522,7 @@ \subsubsection{跳棋趣题}
  \label{fig:pegrules}
 \end{figure}
 
-这是跳棋的一种特殊形式。并不一定限制为6颗棋子，也可以是8或者更大的偶数。\cref{fig:pegpuzzles}是这类问题的变化形式\footnote{图片来源：\url{http://www.robspuzzlepage.com/jumping.htm}}。
+这是跳棋的一种特殊形式。并不一定限制为6颗棋子，也可以是8或者更大的偶数。\cref{fig:pegpuzzles}是这类问题的变化形式\footnote{图片来源：\url{http://www.robspuzzlepage.com/jumping.htm}}。从左向右的石头位置为1, 2, ..., 7。每次有4种移动可能。例如开始时，第3块石头上的青蛙可以移动到空石头上。对称地，第5块石头上的青蛙也可以左移一步。第2块石头上的青蛙可以向右越过一只青蛙跳到空石头上，对称地，第6块石头上的青蛙，也可以向左越过一只。每次记录下7块石头和青蛙的状态，尝试4种方案。如果走不下去了，就回溯尝试其它方案。由于左侧的青蛙只能向右，右侧的只能向左，所有移动都是不可逆的。和走迷宫不同，这里不存在重复情况。我们记录移动的步骤用于最后输出结果。状态$L$是$s$的某种排列。$L[i]$的值是$0, \pm 1$表示第$i$个石头是空的、有一只向左、向右的青蛙。令空石头的位置为$p$，4种移动方案为：
 
 \begin{figure}[htbp]
  \centering
@@ -1533,16 +1533,14 @@ \subsubsection{跳棋趣题}
  \label{fig:pegpuzzles}
 \end{figure}
 
-从左向右的石头位置为1, 2, ..., 7。每次有4种移动可能。例如开始时，第3块石头上的青蛙可以移动到空石头上。对称地，第5块石头上的青蛙也可以左移一步。第2块石头上的青蛙可以向右越过一只青蛙跳到空石头上，对称地，第6块石头上的青蛙，也可以向左越过一只。每次记录下7块石头和青蛙的状态，尝试4种方案。如果走不下去了，就回溯尝试其它方案。由于左侧的青蛙只能向右，右侧的只能向左，所有移动都是不可逆的。和走迷宫不同，这里不存在重复情况。我们记录移动的步骤用于最后输出结果。状态$L$是$s$的某种排列。$L[i]$的值是$\pm 1, 0$表示第$i$个石头是空的、有一只向左、向右的青蛙。令空石头的位置为$p$，4种移动方案为：
-
 \begin{enumerate}
 \item 向左跳跃：$p < 6$，且$L[p+2] > 0$，交换$L[p] \leftrightarrow L[p+2]$；
 \item 向左移动：$p < 7$，且$L[p+1] > 0$，交换$L[p] \leftrightarrow L[p+1]$；
 \item 向右跳跃：$p > 2$，且$L[p-2] < 0$，交换$L[p-2] \leftrightarrow L[p]$；
 \item 向右移动：$p > 1$，且$L[p-1] < 0$，交换$L[p-1] \leftrightarrow L[p]$。
 \end{enumerate}
 
-定义4个函数$leap_l$、$hop_l$、$leap_r$、和$hop_r$，变化状态$L \mapsto L'$。若不能移动，则返回同样的$L$不变。使用栈$S$记录已做过的尝试。开始的时候，栈中只有一个列表，列表中只有开始状态。列表$M$记录所有找到的解。我们不断取出栈顶。如果状态$L = e$则找到了一个解。我们将移动步骤记录到$M$中。否则我们在$L$上尝试4种移动，如果可行就入栈以备继续搜索。
+定义4个函数$leap_l$、$hop_l$、$leap_r$、$hop_r$，变化状态$L \mapsto L'$。若不能移动，则返回同样的$L$不变。使用栈$S$记录已做过的尝试。开始的时候，栈中只有一个列表，列表中只有开始状态。列表$M$记录所有找到的解。我们不断取出栈顶。如果状态$L = e$则找到了一个解。我们将移动步骤记录到$M$中。否则我们在$L$上尝试4种移动，如果可行就入栈以备继续搜索。
 
 \be
 solve\ [[-1, -1, -1, 0, 1, 1, 1]]\ [\ ]
@@ -1610,7 +1608,7 @@ \subsubsection{跳棋趣题}
 \hline
 \etab
 
-每侧有3只青蛙时需要15步左右互换。扩展上述解法可以得到步数和青蛙数目的一个关系表：
+每侧有3只青蛙时需要15步左右互换。扩展上述解法可以得到步数和青蛙数目的一个关系：
 
 \btab{c|c|c|c|c|c|c}
 每侧青蛙数$n$ & 1 & 2 & 3  & 4  & 5 & ... \\
@@ -1625,7 +1623,7 @@ \subsubsection{跳棋趣题}
 
 观察上面3个趣题，它们的解法有着类似的结构。它们都从某种状态开始。走迷宫从入口开始，八皇后问题从空棋盘开始，跳跃青蛙问题从[-1, -1, -1, 0, 1, 1, 1]开始。解的过程是一种搜索。每次尝试都有若干种可能的选项。走迷宫时，每步有上下左右四个方向选择；八皇后问题中，每次摆放都有八列选择；跳跃青蛙趣题中，每次有4种不同的跳跃方式选择。虽然每次选择都不知道能继续走多远。但我们始终清楚地知道最终状态是什么。走迷宫的最终状态是出口；八皇后问题的最终状态是八个皇后都摆在棋盘上；跳跃青蛙趣题的最终状态是左右青蛙位置互换。
 
-我们使用相同的策略来解决这些问题：不断尝试可能的选项，记录已经达到的状态，如果无法继续就回溯并尝试其它选项。通过这样的方法，我们或者找到解，或者穷尽所有可能而发现问题无解。当然，这类解法存在一些变化，当找到一个解后，我们可以停下结束或者继续寻找所有可能的解。如果以起始状态为根，画出一棵树，每个树枝代表不同的选择。搜索过程是一个不断深入的过程。只要能继续，我们先不考虑同一深度上的其它选项。直到失败后回溯到树的上一层。如\cref{fig:dfs-tree}中的搜索顺序。箭头描述了如何先向下，在向上回溯的过程。节点上的数字是访问顺序。
+我们使用相同的策略来解决这些问题：不断尝试可能的选项，记录已经达到的状态，如果无法继续就回溯并尝试其它选项。通过这样的方法，我们或者找到解，或者穷尽所有可能而发现问题无解。当然，这类解法存在一些变化，当找到一个解后，我们可以停下结束或者继续寻找所有可能的解。如果以起始状态为根，画出一棵树，每个树枝代表不同的选择。搜索过程是一个不断深入的过程。只要能继续，我们先不考虑同一深度上的其它选项。直到失败后回溯到树的上一层。如\cref{fig:dfs-tree}中的搜索顺序。箭头描述了如何先向下，再向上回溯的过程。节点上的数字是访问顺序。
 
 \begin{figure}[htbp]
  \centering
@@ -1646,7 +1644,7 @@ \subsubsection{跳棋趣题}
 c(h, f).
 \end{lstlisting}
 
-其中，断言$c(X, Y)$表示位置$X$和$Y$连通。这一断言是有方向性的。如果要让$Y$和$X$连通，我们可以增加一条对称的断言，或者建立一条无方向性的断言。\cref{fig:directed-graph}给出了一个有向图。任给位置$X$和$Y$，Prolog可以通过下面的程序判定它们之间是否有通路。
+其中断言$c(X, Y)$表示位置$X$和$Y$连通。断言是有方向性的。如果要让$Y$和$X$连通，我们可以增加一条对称的断言，或者建立一条无方向性的断言。\cref{fig:directed-graph}给出了一个有向图。任给位置$X$和$Y$，Prolog可以通过下面的程序判定它们之间是否有通路。
 
 \begin{figure}[htbp]
  \centering
@@ -1697,16 +1695,16 @@ \subsubsection{狼、羊、白菜过河问题}
 
 由于狼不会吃掉白菜，农夫可以安全地将羊运到河对岸并返回。接下来无论将狼或白菜中的任何一样运过河，他必须将某一样运回以避免有东西被吃掉。为了寻找最快的渡河方法，我们并发检查所有的选项，比较哪个更快。不考虑渡河的方向，每渡过一次算做一步，往返算两步。我们检查渡河一次后的所有可能、两次后所有可能、三次后的所有可能……直到某次后，所有的东西都到达了对岸结束。并且这一渡河方法在所有可能中胜出，是最快的解法。
 
-如何“并发”检查所有可能的解法？考虑一个抽奖游戏。参与者闭着眼睛从箱子里摸出一个球。箱子里只有一个黑球，其余的球都是白色的。摸到黑球获胜，摸到白球则放回箱子，然后等待下次摸球。为了使游戏公平，可以制定这样一个规则：必须等所有人都摸过之后才能再摸第二次。参与游戏的人站成一队。每次站在队伍前面的人摸球，如果他没有摸到黑球获胜，就站到队尾等待下次摸球。这一队列可以保证游戏的公平。
+如何“并发”检查所有可能的解法？考虑一个抽奖游戏。参与者闭着眼睛从箱子里摸出一个球。箱子里只有一个黑球，其余的球都是白色的。摸到黑球获胜，摸到白球则放回箱子，然后等待下次摸球。为了使游戏公平，可以制定这样一个规则：必须等所有人都摸过之后才能再摸第二次。参与游戏的人站成一队。每次站在队伍前面的人摸球，如果他没有摸到黑球，就站到队尾等待下次摸球。这一队列可以保证游戏的公平。
 
 \begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.5]{img/luckydraw-queue}
- \caption{第$i$个人出队摸球。如果没有摸到黑球就站到队尾}
+ \caption{第$i$个人出队摸球。如果没有摸到黑球就站到队尾。}
  \label{fig:luck-draw}
 \end{figure}
 
-用类似的思路来解决渡河问题。用集合$A$、$B$代表河两岸。开始时，集合$A = \{w, g, c, p\}$包含狼、羊、白菜、农夫，集合$B = \nil$。每次将农夫和另外一个元素在集合间移动。如果集合中不存在农夫，则不能含相互冲突的东西。目标是用最少的次数交换$A$、$B$的内容。使用一个队列$Q$包含起始状态$A = \{w, g, c, p\}$、$B=\nil$。只要队列不空，我们就取出头部元素，扩展所有可能的选择。然后将扩展后的状态放回队尾。如果队列头部等于$A=\nil$、$B=\{w, g, c, p\}$，我们就找到了解。\cref{fig:bfs-tree}描述了搜索顺序。同一深度上的所有可能都被检查了，无需进行回溯。
+用类似的思路来解决渡河问题。用集合$A$、$B$代表河两岸。开始时，集合$A = \{w, g, c, p\}$包含狼、羊、白菜、农夫，集合$B = \nil$。每次将农夫和另外一个元素在集合间移动。如果集合中不存在农夫，则不能含有相互冲突的东西。目标是用最少的次数交换$A$、$B$的内容。使用一个队列$Q$包含起始状态$A = \{w, g, c, p\}$、$B=\nil$。只要队列不空，我们就取出头部元素，扩展所有可能的选择。然后将扩展后的状态放回队尾。如果队列头部等于$A=\nil$、$B=\{w, g, c, p\}$，我们就找到了解。\cref{fig:bfs-tree}描述了搜索顺序。同一深度上的所有可能都被检查了，无需进行回溯。
 
 \begin{figure}[htbp]
  \centering
@@ -1820,7 +1818,7 @@ \subsubsection{倒水问题}
  \label{fig:jugs-r2}
 \end{figure}
 
-大小两个瓶子$B, A$，每次有6种操作：(1) 小瓶子$A$装满水；(2) $B$装满水；(3) 倒空$A$；(4) 倒空$B$；(5) 将$A$中的水倒入$B$；(6) 将$B$倒入$A$。下表是一系列倒水动作，假设容积$a < b < 2a$。
+大小两个瓶子$B, A$，每次有6种操作：(1) $A$装满水；(2) $B$装满水；(3) 倒空$A$；(4) 倒空$B$；(5) 将$A$中的水倒入$B$；(6) 将$B$倒入$A$。下表是一系列倒水动作，假设容积$a < b < 2a$。
 
 \btab{l|l|l}
 $A$ & $B$ & 操作 \\
@@ -1910,17 +1908,17 @@ \subsubsection{倒水问题}
 丢番图方程$g = x a + b y$有无穷多个解，$|x| + |y|$越小，所需步骤越少。我们可以采用类似“过河问题”的思路。在6种操作中（倒满$A$、倒满$B$、将$A$倒入$B$……）“并行”尝试出最优解。使用一个队列来安排所有的尝试。队列中的元素是一系列值对$(p, q)$，$p$、$q$分别是两瓶中水的体积，记录了从开始到最后的倒水操作。开始时队列内容为：$\{[(0, 0)]\}$。
 
 \be
-solve\ a\ b\ g = bfs \{ [(0, 0)] \}
+solve\ a\ b\ g = \textit{bfs} \{ [(0, 0)] \}
 \ee
 
 只要队列不空，我们从头部取出一操作序列。如果序列中的最后状态包含$g$升水，我们就找到了一个解。我们将序列逆序输出；否则我们扩展最后的状态，尝试6种可能，去掉重复的并入队。
 
 \be
 \begin{array}{rcl}
-bfs\ \nil & = & [\ ] \\
-bfs\ Q & = & \begin{cases}
+\textit{bfs}\ \nil & = & [\ ] \\
+\textit{bfs}\ Q & = & \begin{cases}
   p \text{或} q = g: & \textit{reverse}\ s, \text{其中} (p, q) = head\ s, (s, Q') = pop\ Q \\
-  \text{否则}: & bfs\ (pushAll\ (map\ (:s)\ (try\ s))\ Q')
+  \text{否则}: & \textit{bfs}\ (pushAll\ (map\ (:s)\ (try\ s))\ Q')
     \end{cases}
 \end{array}
 \ee
@@ -2061,7 +2059,7 @@ \subsubsection{华容道}
  \label{fig:klotski-jp}
 \end{figure}
 
-我们用$5 \times 4$矩阵来代表棋盘，行列从0开始。1到10个数字代表棋子。0代表空位置。矩阵$M$给出了华容道的初始状态。值为$i$的格子表示有棋子占据。布局用字典$L$代表。$L[i]$棋子$i$覆盖的位置集合。例如$L[4] = \{(2, 1), (2, 2)\}$表示第4个棋子覆盖了位置$(2, 1)$、$(2, 2)$。我们可以把棋盘上的20个位置编号为0到19，把行列转化为编号：$c = 4y + x$。这样第四个棋子占据$L[4] = \{9, 10\}$。
+我们用$5 \times 4$矩阵来代表棋盘，行列从0开始。1到10个数字代表棋子。0代表空位置。矩阵$M$给出了华容道的初始状态。值为$i$的格子表示有棋子占据。布局用字典$L$代表。$L[i]$是棋子$i$覆盖的位置集合。例如$L[4] = \{(2, 1), (2, 2)\}$表示第4个棋子覆盖了位置$(2, 1)$、$(2, 2)$。我们可以把棋盘上的20个位置编号为0到19，把行列转化为编号：$c = 4y + x$。这样第四个棋子占据$L[4] = \{9, 10\}$。
 
 \[
 \begin{array}{cc}
@@ -2259,7 +2257,7 @@ \subsubsection{华容道}
  \label{fig:dfs-bfs-tree}
 \end{figure}
 
-由于我们无法真正的“并行”搜索，广度优先搜索使用队列来记录尝试。从队列头部不断取出步骤较少的候选项，从队列尾部不断加入步骤较多的新候选项。广度优先搜索提供了一种简单的方法寻找最少步骤解，但它不能直接搜索其它最优解。考虑如\cref{fig:weighted-dag}的有向图，每段路径长度不同，我们无法用广度优先搜索找出两个城市之间的最短路径。注意从城市$a$到城市$c$之间的最短路径并非经过最少城市的$a \to b \to c$。这条路径的总长度为22；而是经过更多城市的路径$a \to e \to f \to c$，他的总长度只有20。
+由于我们无法真正的“并行”搜索，广度优先搜索使用队列来记录尝试。从队列头部不断取出步骤较少的候选项，从队列尾部不断加入步骤较多的新候选项。广度优先搜索提供了一种简单的方法寻找最少步骤解，但它不能直接搜索其它最优解。考虑如\cref{fig:weighted-dag}的有向图，每段路径长度不同，我们无法用广度优先搜索找出两个城市之间的最短路径。注意从城市$a$到城市$c$之间的最短路径并非经过最少城市的$a \to b \to c$。这条路径的总长度为22；而是经过更多城市的路径$a \to e \to f \to c$，它的总长度只有20。
 
 \begin{figure}[htbp]
  \centering